Chứng minh bất đẳng thức cosi
Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số ko âm được Trung trung ương Gia sư Tiến Bộ phân tách sẻ với bạn đọc.
Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức cosi
*Tổng quát: trung bình cộng của n số thực không âm luôn luôn lớn hơn hoặc bằng vừa phải nhân của chúng. Với trung bình cộng chỉ bằng vừa phải nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm
Bất đẳng thức Cosi đến 2 số không âm:
Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi
Bất đẳng thức đúng với hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:⇔
⇔
⇔
Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm
Bất đẳng thức Cosi mang đến 3 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ lúc
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:Đặt:
Suy ra:
Suy ra:
Bất đẳng thức được quy về:
Dấu “=” xảy ra lúc
3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d ko âm
Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm:
Dấu “=” xảy ra khi với chỉ khi
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc hoặc
Xem thêm: Top 5 Cách Làm Socola Đơn Giản Nhất, Cách Làm Socola Đơn Giản Tại Nhà
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:
Thay:
Ta được bất đẳng thức Cosi mang đến 3 số dương.
4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Nếu bất đẳng thức đúng với số thì nó cũng đúng với
Ta tất cả thể chứng minh đơn giản vì:
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với là một lũy thừa của 2.
Xem thêm: Top 10 Tướng Nào Mạnh Nhất Trong Liên Minh Huyền Thoại Tướng Nào Mạnh Nhất
Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi đến n số:
Chọn:
→
Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta bao gồm đpcm.
